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tanx比x大得多，还是x比sinx大得多，你知道吗？

2022-02-01 15:37:10 来源：网络整理作者：管理员

我们知道，当x∈(0，π/2)时，sinx

证明：tanx/x>x/sinx, x∈(0，π/2).

分析：这里至少有两种思路。一是求不等式两边的比，只要比值大于1就得证。另一种思路是求它们的差，只要差大于0也就得证了。两个思路不一定都行得通，或者说，有难有易。这里选择求它们的差，然后再求差表示的函数的导数，甚至是二阶导数，来证明它们的差大于0.

在求不等式两边的差之前可以先将不等式做一个适当的变量，降低求解的难度。因为tanx=sinx/cosx，所以tanx/x=sinx/(xcosx). 不等式两边同时乘以sinx，就得到：(sinx)^2/cosx>x^2.

再记辅助函数f(x)=(sinx)^2/cosx-x^2. 并求f'(x)=sinx/(cosx)^2+sinx-2x. 观察发现这时还无法得到结论。

所以继续求f"(x)=cosx+1/cosx-2+2(sinx)^2/(cosx)^3,

其中cosx+1/cosx>2, 2(sinx)^2/(cosx)^3>0，x∈(0，π/2).

所以f"(x)>0，即f'(x)在(0，π/2)上是严格增函数，而f'(x)在x=0处连续，且f'(0)=0，因此f'(x)>0. 即f(x)在(0，π/2)上也是严格增函数，而f(x)同样在x=0处连续，且f(0)=0,

所以f(x)>0，即(sinx)^2/2>x^2. 这样就证明了在(0，π/2)上，tanx比x大得多，而x比sinx大的就相对没有那么多了。下面组织解题过程：

证：原式等价于sinx/(xcosx)>x/sinx，即(sinx)^2/cosx>x^2，

记 f(x)=(sinx)^2/cosx-x^2，则f’(x)=sinx/(cosx)^2+sinx-2x；

f"(x)=cosx+1/cosx-2+2(sinx)^2/(cosx)^3,其中cosx+1/cosx>2, 2(sinx)^2/(cosx)^3>0，x∈(0，π/2).

所以f"(x)>0，即f'(x)在(0，π/2)上是严格增函数，

而f'(x)在x=0处连续，且f'(0)=0，因此f'(x)>0, x∈(0，π/2).

即f(x)在(0,π/2)严格增，且f(x)在x=0处连续，f(0)=0，

∴f(x)>0，x∈(0,π/2). 即(sinx)^2/2>x^2，∴tanx/x>x/sinx, x∈(0，π/2).

另一种通过求证不等式两边的比大于1的方法，有兴趣也可以自己尝试一下。重要的不是结果，而是探究的过程！

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